Matemática financiera, diagrama de flujo de efectivo

Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden regristrar sobre una recta que mide el tiempo de duración de la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operación financiera se conoce como flujo de caja, diagrama de flujo de efectivo o diagrama de lineas de tiempo. Por sentido común se ha adoptado señalar los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es la construcción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para su solución.

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Ejemplo 1:

Se solicita un préstamo P= $10,000 al 8% anual y se pretende determinar F después de 5 años. Construir el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestatario.

El problema puede ser analizado desde dos puntos de vista: el flujo de caja para el prestamista y para el prestatario.

El momento en que se recibe el préstamo se denomina momento 0, la suma actual P constituye una entrada de efectivo del principal del préstamo en el año 0 y la cantidad futura F es la salida de efectivo correspondiente al pago de la deuda al final del año 5, la tasa de interés debe indicarse en el diagrama 

Ejemplo 2:

Se deposita en una entidad financiera el 1ero de Enero del 2006 la suma de $1,000,000 y después de 6 meses y después de 6 meses se retira la cantidad de $1,075,000, construir el diagrama de flujo desde el punto de vista del prestamista y prestatario.

Usted compra una casa al crédito por $10,000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: una cuota inicial de $2,000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3,6 y 9 por valor de $3,000 cada una. Construir el flujo de caja para usted

También se puede construir el flujo neto de caja. Se observa que en el momento cero existen dos valores diferentes ubicados en la misma fecha que son comparables a la luz del principio del valor del dinero en el tiempo. Si usted recibe un préstamo (representado en el valor de la casa) y el mismo día paga una cuota inicial, se puede plantear el flujo de caja neto de la siguiente forma:

Resumen y datos complementarios

El diagrama de flujo de efectivo debe representar el enunciado de un problema e incluir los datos y los resultados a encontrar. Es decir, después de dibujar el diagrama de flujo de efectivo, una persona ajena al problema debe ser capaz de solucionarlo mediante el diagrama.

La línea horizontal es una escala de tiempo, con el avance del tiempo de izquierda a derecha. Los letreros del periodo (año, trimestre, mes) pueden aplicarse a intervalos del tiempo en lugar de a los puntos en la escala del tiempo. por ejemplo, advierta que el final del periodo 2 coincide con el inicio del periodo 3. Cuando se utiliza la convención de final de periodo de los flujos de efectivo, los números de los periodos se colocan al final de cada intervalo de tiempo.

Las flechas significan flujos de efectivo y se colocan al final del periodo. Si fuera necesario hacer una distinción, las flechas que apuntan hacia abajo representan egresos (flujos de efectivo negativos o salidas de efectivo) y las flechas hacia arriba representan ingresos (flujos de efectivo positivos o entradas de efectivo).

Un diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista, como se analizó anteriormente.

El interés simple, concepto y ejemplos

En las matemáticas financieras existen dos clases de interés: El interés Simple y El Interés Compuesto, en este articulo tocaremos el tema del interés simple, mi propósito es que al lector no le quede duda sobre este tema, por tal razón intento dar una definición sencilla con ejemplos claros y fáciles de entender.

En cualquier actividad financiera se acostumbra a pagar una renta o rédito por el uso del dinero prestado. El interés es importe de dinero que pagamos por disfrutar una cantidad de dinero solicitada en préstamo ya sea a un particular o a una institución financiera.

Cuando el interés se paga sólo sobre el capital prestado, se le conoce como interés simple y se emplea a préstamos a corto plazo, normalmente en préstamos iguales o menores a un año.

La formula del interés simple es: 

Interés = (Capital) x (Tasa de Interés) x (Período ó Plazo)

Para no confundir al lector es importante aclarar que los libros utilizan las siguientes ecuaciones o formulas para encontrar el Interés Simple:

I = Cin

I = Pin

Entonces, asignemos un nombre a cada variable:

I = Interés ganado
C = Capital
i = Tasa de interés
n = Plazo

En este artículo utilicemos la formula I = Cin

En base a la fórmula que utilizaremos podemos despejar las otras variables:

C = I/in
i = I/Cn
n = I/Ci

También, podemos decir que el interés es la diferencia entre dos cantidades el Capital prestado y el monto total devuelto por el prestamos:

Asignemos como "M" al monto total devuelto en concepto de préstamo:

M = C + I

Despejando podemos deducir:

C = M - I
I = M - C

Comencemos los ejemplos del Interés Simple con el siguiente caso:

Ejemplo 1:

Supongamos que el señor Pedro Aguilar es dueño de un pequeño negocio, visita el banco Banicsa y pide un préstamo por la cantidad de $10,000 y acuerda pagar esta cantidad en 3 meses, entregándole al banco la cantidad de $12,300.

El señor Pedro Aguilar pidió prestado $10,000 y pagó 3 meses después $12,300, esto es $10,000 prestado más $2,300 en concepto de intereses.

Desde el punto de vista del banco los $2,300 en concepto de intereses son su ganancia, por el hecho de haber invertido su dinero en el préstamo, y desde el punto de vista del señor López son el costo de haber utilizado los $10,000 durante 3 meses.

En base a la información que tenemos la podemos clasificar de la siguiente manera:

C = Capital que se invierte = $10,000

t =  Tiempo o Plazo = 3 meses

I = Interés Simple = $2,300

M = El monto = Capital más intereses = $12,300

i = La tasa de Interés

La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital:

En el ejemplo:

i = (2,300/10,000) = 0.23

Si se multiplica por 100, este resultado indica que el capital ganó el 23% de interés en 3 meses, puesto que $2,300 es el 23% de $10,000, luego para convertir la misma base, se acostumbra a expresar tanto la tasa de i como el t en unidades de año, por lo que, según el ejemplo,  t = 3 meses, y si el año tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades de año es: 

n = 3/12 = 1/4 = 0.25

Según nuestra formula la tasa anual i = I/Cn

i = 2,300/(10,000 x 0.25)
i = 0.92 = 92%
i = 92%

Igual i se pudo calcular directamente deduciendo que: si en tres meses es 23%  y un año tiene 4 trimestres, en 1 año es (23%) x (4) = 92%

Cabe recalcar:

1) La tasa de interés 0.92 (expresada en decimales)
2) La tasa de interés 92% (expresada en porcentajes)

Ambos resultados son expresiones distintas de lo mismo, la primera es la expresión algebraica mientas que la segunda es su expresión porcentual y esta última es la más utilizada en el lenguaje cotidiano de las transacciones financieras.

Para que el lector comprenda mejor el ejemplo, resumimos:

C = $10,000
I = $2,300
n = 1/4 = 0.25
i = 92%
M = $12,300

Se puede observar:

El monto es igual al capital más los intereses:

M = C + I
$12,300 = $10,000 + $2,300

El interés es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo:

I = Cin
2,300 = 10,000 x (0.92) x (1/4)

Si combinamos las dos expresiones que acabamos de deducir:

M = C + Cin

M = C(1+in)

El factor (1+in) se le conoce como factor de acumulación con interés simple, otra relación que se puede deducir de la fórmula es:

C = M/(1+in) = M(1+in)^-1

Ahora, vamos a ver varios ejemplos donde encontraremos las distintas variables de la fórmula del interés simple:

Ejemplo 2:

Encontrando la tasa de interés simple en un préstamo:

¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $22,000, se liquida un préstamo de $18,500 en un plazo de 8 meses

Solución:

Tenemos la siguiente información:

M = $22,000
C = $18,500
n = 8 meses

El plazo en años es 8/12 = 2/3 = 0.67

Podemos utilizar la formula: i = I/Cn

I = 22,000-18,500 = 3,500

i = 3,500/(18,500 x 0.67) = 0.28
i = 28%

Dato importante: La unidad de tiempo para la tasa de interés puede no ser anual, sino mensual, diaria, trimestral o de cualquier otra unidad de tiempo. Sin embargo, en cualquier caso es importante hacer coincidirla con las unidades de tiempo del plazo; por si la tasa de interés es semanal entonces el plazo debe expresarse y manejarse en semanas.

Ejemplo 3:

Monto acumulado en una cuenta bancaria:

¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Pedro Aguilar, si depósito $7,000 devengando intereses a una tasa del 5.5% simple anual?

Contamos con los siguientes datos:

C = $7,000
i = 5.5% anual
n = 2 años

M = C(1+in)
M = 7,000(1+(5.5/100)x2)
M = $7,770

Ejemplo 4:
Encontrando el capital o valor inicial de un préstamo:

¿Cuál fue la inversión inicial que realizo don Pedro Aguilar si ha obtenido utilidades de $300 después de 8 meses, a interés simple y a una tasa del 36 % anual?

Datos que tenemos:

I = $300
i = 36%
n = 8 meses
C = ?

n = 8/12 = 2/3 = 0.67

Podemos utilizar la ecuación: C = I/in

C = 300/((36/100)(0.67))
C =  $1,250

Ejemplo 5:

Calculando intereses:

En este ejemplo dejamos en paz a don Pedro Aguilar y no vamos a suponer que una persona deposita $75,000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 1.35% mensual simple, ¿Cuánto recibirá mensualmente en concepto de intereses?

Datos:

C = $75,000
i = 1.35% mensual
I = ?

I = Cin
I = (75,000 x (1.35/100) x 1)
I =  $1,012.5